离散求解概念

虽然环境流动问题的数学模型形式不同,但是从数学的角度上看都是偏微分方程组。离散就是把微分方程转化为近似等效的很多个代数方程的方法,然后利用计算机计算代数式。从这种意义上讲,数值模拟就是把一个复杂的问题转化为一系列简单的问题。实际上计算机的工作原理也是类似的,即把代数运算最后转变为大量的二进制操作。

从计算精度上讲,数学模型实际上包含了两个方面的意义:一方面是数学模型的微分方程与实际物理过程的近似程度,在选定了微分方程后,就是认可了控制方程对物理问题的近似误差。另一方面数学模型还包含离散后的代数方程与微分方程的近似程度。当满足误差要求时,则可称离散是相容的。对于线性问题,Lax证明了相容且稳定的计算方法是收敛的,Lax定理是离散计算的理论基础。对于非线性问题,相容性与稳定性虽然不一定是充分的,却是必要的。

网格与离散方法

    离散方法主要有有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法及谱方法等,实际上,从微分方程的弱解或广义加权余量法的角度来讲,各种离散方法是相通的。离散的共同点是首先把计算域划分为若干简单的几何域,虽然这里所说的若干可能比较多,但毕竟是有限的,这也许是有限差分等离散方法名称的来历。由简单的多边形或多面体描述的计算域构成了网格,网格可以是结构化的,也可以是非结构化的。通常情况下,有限差分法采用的四边形或六面体结构化网格;有限元法是基于几何非结构化描述方式建立起来的;有限体积法是基于守恒律建立的离散方法。早期的有限体积法常采用是结构化的网格,近期的有限体积法大多采用非结构化网格。实际上各种离散方法也可以互相融合,如非结构化差分方法,将变量由定义于网格型心改为定义于节点建立的基于有限元的有限体积法。由于实际工程问题的计算域往往是复杂的,非结构化网格方法便于网格划分和应用,但是对于相对简单的计算域,在结构化网格往往便于采用效率较高的计算求解方法。当计算域只布置离散点,不需要明确指定离散点的拓扑关系时,可以建立所谓的无网格方法。对于某些类型的椭圆型方程,当采用边界元法时,只需要在边界上划分离散网格,因此可以简化全域离散的计算量。谱方法的离散精度高,适用机理问题及湍流的理论研究,目前很难直接应用到工程问题。

代数方程组的求解

对于时间发展方程,可以采用分离变量的方法先进行空间离散,从而构成关于时间的常微分方程组,然后在时间坐标上离散常微分方程组。当采用显式方法离散常微分方程时,只需要代数计算就可以得到所有函数的空间分布与时间发展过程。显式计算的优点是计算方法简单,尤其适合并行计算,缺点是往往对时间推进步长的限制较严。由于流体动力学偏微分方程大多具有双曲型方程的性质,函数的空间分布变化激烈甚至强间断,为提高计算精度或分辨率,往往采用大量的而且不均匀的计算网格,而显示时间推进的步长受最小网格限制,因此,采用隐式时间推挤常常是必要的。隐式时间离散及椭圆型方程离散后的代数式构成代数方程组,对非线性的偏微分方程离散则构成非线性代数方程组。非线性代数方程组的求解一般需要迭代计算,即先把非线性代数方程组改写成与其近似的线性代数方程组,然后反复求解线性代数方程组并修正线性代数方程组的系数,以期得到非线性代数方程组的解。对于数学模型而言,稳定性不仅包含离散格式的稳定性,也包含求解代数方程的稳定性。

     可以采用很多种方法求解线性代数方程组,高斯消去法。但是,当方程组的个数很多时,高斯消去法类型的直接解法包含两个缺点,一是计算量大,计算量正比于方程组个数的三次方;二是占用大量计算机存储空间。当方程组数大于2000个时,通常不建议采用直接解法。经有限差分法、有限元法、有限体积法离散后的代数方程组一般都是稀疏矩阵,对大型稀疏矩阵采用迭代求解效率会更高。迭代法包括点迭代(Jacobi , Gauss-Seidel and Succesive Over Relaxation SOR),线迭代(Successive Line Over Relaxation,及共轭梯度类方法CGSGMRSQMR)。

 

高分辨率格式

HydroInfo采用非结构化有限体积离散。由于有限体积法就是对守恒方程在计算域中的一系列控制体积上直接离散,因此初期的有限体积法也称为控制体积法。按加权余量法的观点,有限体积法属于子域法;初期的有限体积法大多采用结构化网格,按差分的观点,有限体积法属于守恒型差分离散。近期的有限体积法大多采用非结构化网格,如果按插值函数的连续性观点来看,有限体积法也可以看做C-1型(分片连续的间断函数)有限元法。

 

 

    

2.1 HYDROINFO三维分层有限体积网格

 

2.2 HYDROINFO平面非结构化网格

 

经空间半离散后, (5.1)可写成常微分方程组形式

这里, M代表集中质量阵, c代表影响系数, b代表源项, j为围绕结点i的邻近结点个数

可以证明当邻近结点的影响系数为非负时, 则格式满足最大值不增,最小值不减的TVD性质[4]. 为保证这种单调性质,可以在格式中加入Laplace形式的人工耗散.对于离散形式, 人工耗散D可写成

正定性条件要求.然而以上的人工耗散只具有一阶精度.高分辨率格式可被理解为仅加入尽可能小的人工耗散,使格式既具有较高的离散精度又保证解的不振荡.

一阶精度计算格式因数值耗散较大,计算的激波变得平坦。为了获得空间二阶精度,Van Leer提出MUSCL途径。基本方法是:采用插值方法确定单元界面两侧的变量值,作为求解黎曼问题的初始值,用一阶Godunov型格式计算界面处的数值通量。插值后,离散的精度可达二阶。经MUSCL重构后的半离散方程可改写成紧致的形式

 

可以证明,当限制因子f(r)³0时,,从而保证格式的高离散精度与解的不振荡性质.

经有限元空间半离散后的对流-扩散方程为常微分方程,可采用多种方法求解。对于非恒定流,可采用Runge-Kutta法进行显式时间积分求解。为增强稳定性亦可采用隐式格式求解,如高斯-赛得尔迭代或广义共轭梯度方法(GMRS)。