流动的基本控制方程

流动与输运过程由描述质量,动量,能量守恒的积分或微分方程组控制。这些基本方程是通用的,对于不同的实际问题,只是相对应的初边值有所不同。因此,采用数值模拟技术对工程问题中的流动与输运过程进行计算分析,是一种十分经济有效的通用手段,环境水流数学模型的工程应用面是非常宽的。粗看起来,像洪水、航道、泥沙、波浪、环境污染评价这些工程问题的物理现象有很大差异,但是当采用数值模拟时,这些属于不同专业的工程问题之间的距离就缩小了,因为描述这些千差万别的物理现象的控制方程是非常相似的, 在本质上都属于流动与输运过程。

 

水流的运动规律满足以下几组方程:

1. 质量守恒定律

质量守恒定律可以表述为:控制体中质量的增加率等于单位时间内净流入量,即流入质量减去流出的质量,用数学表达可写为:

其中为流体密度,为流速,代表由封闭曲面包含的体积,上式第一项代表控制体中质量的增加率,第二项代表控制体表面的质量通量。

2. 动量守恒定律

动量守恒定律可以表述为:动量的变化率,其包括控制体内随时间的增加率及单位时间内的净流出动量,等于作用于控制体的合力,用数学表达可写为:

其中分别代表单位质量的体力与面应力。上式的本质意义就是在欧拉描述下的牛顿定律。

3.能量守恒定律

能量守恒定律可以表述为:能量变化率,包括控制体中的时间增加率及单位时间内净流出能量,等于导入的热量与合力作功之和,用数学表达可写为:

其中分别代表单位质量的总能(包括内能与动能)与单位面积的流热量。上式的左边代表欧拉描述下的总能变化率,右边前二项代表体力与面应力做功,最后项代表热流通量

在补充本构关系及状态方程后,流动的控制方程封闭,即变量的个数等于方程的个数。对于实际的流动,在给定适当的初始条件与边界条件后,问题是适定的,即解是存在且唯一。

描述流动一般规律的通用方程虽然很全面,但是由于其是高度非线性的,无论在理论上还是在数值上进行分析求解都是很困难的。因此,根据流动的特点,前人进行了多种方式的简化近似处理。如利用高雷诺数流的特点进行的无粘性流Euler近似,势流与边界层理论,不可压流近似,低雷诺数流Stokes近似等。经线性化或近似简化处理后得到的理论解,不仅对认识流动规律有意义,而且对于数值计算的检验也有重要价值。另外,通过适当简化近似的数学模型可以经济快速地解决工程问题,也满足分析精度的要求。

对于环境流动问题,针对不同问题的特点,多年来广泛应用及近年来不断完善发展的数学模型非常多,如:圣维南方程组,平面二维浅水模型,三维静压模型,短波Boussinesq方程,工程泥沙模型等。

上述基本方程也常表述成如下形式的通用守恒方程:

 

5.1

 

其中,,可以代表质量、动量、能量、及其它对流-扩散输运变量。

描述流动一般规律的通用方程虽然很全面,但是由于其是高度非线性的,无论在理论上还是在数值上进行分析求解都是很困难的。因此,根据流动的特点,前人进行了多种方式的简化近似处理。如利用高雷诺数流的特点进行的无粘流Euler近似,势流与边界层理论,不可压流近似,低雷诺数流Stokes近似等。经线性化或近似简化处理后得到的理论解,不仅对认识流动规律有意义,而且对于数值计算的检验也有重要价值。另外,通过适当简化近似的数学模型可以经济快速地解决工程问题,也满足分析精度的要求。

对于环境流动问题,针对问题几何尺度的特点,多年来广泛应用的数学模型非常多,如:维圣维南方程组,平面二维浅水模型,三维静压模型,动水压强模型,短波Boussinesq方程,工程泥沙模型等。计算模块将库群、河网、泄水建筑物、堤坝、蓄滞洪区与淹没区等作为大系统统一处理,根据实际问题的特点及空间分辨率要求,可以采用分区动态耦合算法分别采用水量平衡关系、河网一维、平面二维的流动、自由表面三维的流动与输运微分方程组作为控制方程。利用系统的分解协调算法,不仅有利于分析子系统的耦合影响与相互作用,而且能够建立基于网络计算的实时预报与决策系统。

多维耦合的目的是用较小的计算量取得较高的计算精度,对于重点关心的区域可以采用二维或三维模型进行细致的模拟计算;而对于大空间尺度且基础资料(如详细的河道地形图)相对缺乏的区域,可以采用河网一维模型计算。当重点关心的区域缺少合适的水位或流量边界条件时,采用多维耦合可以较好地将远外边界的实际边界信息反映到重点关心的工程区。

传统的分区计算方法多是静态的,较难考虑多区域的强相互作用,且常引起分区迭代的发散。HydroInfo利用子结构叠加概念,对一维河道与平面二维河口的匹配连接中的水位与含沙量计算采用动态耦合算法,以增强分区匹配耦合的计算稳定性。

 

本构关系

根据具体问题的特点,对描述流动的基本控制方程进行适当的简化,有利于发现问题的本质。因此,对不同的问题进行分类处理时常是有必要的,就好像如果要求望远镜同时具备显微镜的功能,那就太难了。

实际流动常常是不稳定或动态稳定的,如紊流。对紊流尺度的非线性相关引入各种紊流模型,按照连续介质力学的观点,可以认为某种形式的本构关系。其它的本构关系包括:

.按照谢才公式根据糙率计算底部与边壁的剪应力。

.按照量纲分析与模型试验确定的半理论公式与半经验系数计算闸堰、阀门、泵站等。

.按照挟沙力公式计算床底的悬沙交换

.按照推移质泥沙率公式计算底床变形

.按照Bousinisque假设计算异重流输运与温度场自由对流

.按照生化反应方程计算环境输运量的源项,以表达环境输运参数的生长、衰减与转化。