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原理与功能

流动的基本控制方程

流动与输运过程由描述质量,动量,能量守恒的积分或微分方程组控制。这些基本方程是通用的,对于不同的实际问题,只是相对应的初边值有所不同。因此,采用数值模拟技术对工程问题中的流动与输运过程进行计算分析,是一种十分经济有效的通用手段,环境水流数学模型的工程应用面是非常宽的。粗看起来,像洪水、航道、泥沙、波浪、环境污染评价这些工程问题的物理现象有很大差异,但是当采用数值模拟时,这些属于不同专业的工程问题之间的距离就缩小了,因为描述这些千差万别的物理现象的控制方程是非常相似的, 在本质上都属于流动与输运过程。

微分方程的离散与求解

虽然环境流动问题的数学模型形式不同,但是从数学的角度上看都是偏微分方程组。离散就是把微分方程转化为近似等效的很多个代数方程的方法,然后利用计算机计算代数式。从这种意义上讲,数值模拟就是把一个复杂的问题转化为一系列简单的问题。实际上计算机的工作原理也是类似的,即把代数运算最后转变为大量的二进制操作。
从计算精度上讲,数学模型实际上包含了两个方面的意义:一方面是数学模型的微分方程与实际物理过程的近似程度,在选定了微分方程后,就是认可了控制方程对物理问题的近似误差。另一方面数学模型还包含离散后的代数方程与微分方程的近似程度。当满足误差要求时,则可称离散是相容的。对于线性问题,Lax证明了相容且稳定的计算方法是收敛的,Lax定理是离散计算的理论基础。对于非线性问题,相容性与稳定性虽然不一定是充分的,却是必要的。

离散方法与网格

离散方法
离散方法主要有有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法及谱方法等,实际上,从微分方程的弱解或广义加权余量法的角度来讲,各种离散方法是相通的。离散的共同点是首先把计算域划分为若干简单的几何域,虽然这里所说的若干可能比较多,但毕竟是有限的,这也许是有限差分等离散方法名称的来历。由简单的多边形或多面体描述的计算域构成了网格,网格可以是结构化的,也可以是非结构化的。通常情况下,有限差分法采用的四边形或六面体结构化网格;有限元法是基于几何非结构化描述方式建立起来的;有限体积法是基于守恒律建立的离散方法。早期的有限体积法常采用是结构化的网格,近期的有限体积法大多采用非结构化网格。实际上各种离散方法也可以互相融合,如非结构化差分方法,将变量由定义于网格型心改为定义于节点建立的基于有限元的有限体积法。由于实际工程问题的计算域往往是复杂的,非结构化网格方法便于网格划分和应用,但是对于相对简单的计算域,在结构化网格往往便于采用效率较高的计算求解方法。当计算域只布置离散点,不需要明确指定离散点的拓扑关系时,可以建立所谓的无网格方法。对于某些类型的椭圆型方程,当采用边界元法时,只需要在边界上划分离散网格,因此可以简化全域离散的计算量。谱方法的离散精度高,适用机理问题及湍流的理论研究,目前很难直接应用到工程问题。
代数方程组的求解
对于时间发展方程,可以采用分离变量的方法先进行空间离散,从而构成关于时间的常微分方程组,然后在时间坐标上离散常微分方程组。当采用显式方法离散常微分方程时,只需要代数计算就可以得到所有函数的空间分布与时间发展过程。显式计算的优点是计算方法简单,尤其适合并行计算,缺点是往往对时间推进步长的限制较严。由于流体动力学偏微分方程大多具有双曲型方程的性质,函数的空间分布变化激烈甚至强间断,为提高计算精度或分辨率,往往采用大量的而且不均匀的计算网格,而显示时间推进的步长受最小网格限制,因此,采用隐式时间推挤常常是必要的。隐式时间离散及椭圆型方程离散后的代数式构成代数方程组,对非线性的偏微分方程离散则构成非线性代数方程组。非线性代数方程组的求解一般需要迭代计算,即先把非线性代数方程组改写成与其近似的线性代数方程组,然后反复求解线性代数方程组并修正线性代数方程组的系数,以期得到非线性代数方程组的解。对于数学模型而言,稳定性不仅包含离散格式的稳定性,也包含求解代数方程的稳定性。
可以采用很多种方法求解线性代数方程组,高斯消去法。但是,当方程组的个数很多时,高斯消去法类型的直接解法包含两个缺点,一是计算量大,计算量正比于方程组个数的三次方;二是占用大量计算机存储空间。当方程组数大于2000个时,通常不建议采用直接解法。经有限差分法、有限元法、有限体积法离散后的代数方程组一般都是稀疏矩阵,对大型稀疏矩阵采用迭代求解效率会更高。迭代法包括点迭代(Jacobi , Gauss-Seidel and Succesive Over Relaxation SOR),线迭代(Successive Line Over Relaxation),及共轭梯度类方法(CGS,GMRS,QMR)。

数学模型的验证

数学模型是否可靠是建立并应用数学模型首先要考虑的问题。模型的验证可以考虑以下三种途径。
1.理论解与解析解的验证
数学模型的控制方程在某些简化初边值条件下,常可以得到解析解。早在计算机出现之前,造诣深刻的前辈们就已经给出了各种数学模型的解析解。采用解析解对数值解进行验证是最直接的途径。
2.实验室测量数据的验证
在实验室精心设计并测量的数据通常是完备的,可以对数学模型进行多方面的考察与验证。
3.原型观测资料
原型观测资料最接近实际,也非常宝贵。对于实际应用而言,数学模型的正确不仅是指离散与计算方法的正确,更主要的是指原始数据与参数正确。原始数据可能包括几何或地形数据,边界条件;参数可能包括糙率,风力系数,扩散系数等。经过原型观测资料验证的数学模型,其做出的分析与预报结果具有更高的可信度。

模型输出及后处理

实用的数学模型首先需要准备大量的数据,前处理软件目的是简化劳动,提高效率,方便通用。必须承认的是,国际上优秀的工程分析前处理软件要远远地领先于国内软件。前处理模块主要包括实体建模和网格划分两部分内容,实体建模可以给出计算域的总体与大致的初步设计;网格划分则是对初步设计进行详细的构造,并给出数学模型实际采用的计算网格。
后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。对于动态问题,最好是可以展现出具有虚拟现实意义的动画。此外,如何在大规模科学计算的海量数据中实现知识挖掘,也还有很长的路要走。

 

 

 

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